6-Z24
6-Z24
7-32
7-32
6-Z25
7-32
9-10
Essai d'analyse avec la Set Theory
Fig 1. Mesures 2 à 8, avec l'ensemble des notes dans chacune des mesures et leur représentation circulaire. Celle-ci met en exergue l'alternance d'ensembles de classes de hauteurs (ECH) 6-Z24 et 7-32. Dans le cadre du 7-32, Beethoven décline la gamme de do mineur dans les mesures 3 et 7, et transposée "T 5" soit 5 demi-tons (quarte) à la mesure 5. A noter la mesure 8 dans laquelle, à trois notes près, il décline le total chromatique. Mais celle-ci - voir ci-dessous - contient en ECH ou en sous-ensembles huit 3-5 (seconde mineure, quarte, quarte augmentée), deux 4-9 (double tritons en miroir) sous-jacents et deux 4-3 en miroir aussi.
Gamme de do mineur mais aussi un ECH 7-32
Fig 2. Constat : l'ensemble de classes de hauteurs (ECH) de la mesure 2, 6-Z24, est  le même que celui constitué par les toutes les notes de la mesure 1 à 8 du violon 1 sans les appogiatures. Avec celles-ci, l'ECH est un 7-32. 
L'ECH 6-Z24 {0, 2, 3, 5, 7,11}/{do, ré, mib, fa, sol, si}. Pour obtenir la transposition T5, soit de 5 demi-tons (quarte) à la mesure 4, il suffit d'additionner 5 sur chaque classe de hauteurs  mais en calcul modulo 12 : 0 + 5 = 5, 2 + 5 = 7, 3 + 5 = 8, 5 + 5 = 10, 7 + 5 = 0, 11 + 5 = 4, d'où ce nouvel ECH transposé {5, 7, 8, 10, 0, 4} qui correspond à la transposition T5 de la mesure 4 (Fig.1).
Si on souhaite obtenir l'inversion de cet ECH, il suffit de retrancher à chaque classe de hauteurs 12 : 12-0 = 0, 12-2 = 10, 12-3=9, 12-5 = 7, 12-11 = 1 soit [0, 10, 9, 7, 5, 1}. Et pour effectuer une transposition/inversion T5I, on additionnera sur chaque classe de hauteurs 5 : 0+5 = 5, 10+5 = 3, 9+5 = 2, 7+5 = 0, 5+5 = 10, 1+5 = 6 soit {5, 3, 2, 0, 10, 6}. La base de calcul est neutre, et on peut choisir un 0 différent du do.
Une analyse iconoclaste ou d'autres pistes ?

Tout en étant bien conscient que la Set Theory n'est pas appropriée pour l'analyse de la musique tonale car créée pour l'analyse atonale, je n'ai pas résisté néanmoins à la curiosité d'examiner de façon très abstraite les premières mesures de la partition du quartet N°4 de L. Beethoven, Op. 18. N°4. suite à la proposition de Mathieu A. dans le cadre d'un sujet ouvert dans le forum compositeurs.org. Et si cette tentative peut apparaître quelque peu iconoclaste, elle me semble riche d'enseignements en portant un autre regard, avec une autre façon de découvrir une partition au niveau de sa structure intervallique, de comprendre son organisation structurelle tant sur le plan horizontal que vertical, de répertorier les groupes, d'examiner les opérations entreprises comme les transpositions voire des permutations, des inversions, des symétries, etc.
Précision, je ne suis pas un analyste et encore moins un musicologue averti et je suis tout à fait conscient de mes lacunes concernant l'analyse de la musique classique. En revanche, si mes intérêts se portent plus sur la compréhension de la structure de la musique atonale et sur laquelle la Set Theory m'a apporté des clés de compréhension - tant sur le papier qu'avec les outils natifs d'Open Music - il me semble que dès que le matériau classique est fécond, la Set Theory conjointement à la représentation circulaire via le cercle dodécaphonique peuvent apporter des éléments de compréhension et qui sait orienter l'analyste classique vers d'autres pistes ?
                                                                                                                                                                   D.D.


Transposition de 5 demi-tons - T5 -.
Transposition de 5 demi-tons - T5 -.
Mesure 3
Mesure 2
Mesure 4
Mesure 5
Mesure 6
Mesure 7
Figure 3. A la mesure 8, le total chromatique est décliné à trois notes près.
Mesure 20


A la mesure 8, la représentation circulaire  met en valeur une utilisation d'un matériau marqué par un chromatisme certain.
Dans cette mesure, Beethoven aligne à trois notes près - réb/mi/sib - le total chromatique. Celui-ci sera complété avec des ajouts aux mesures 20, 24 et 28. Un petit patch réalisé avec Open Music (OM) donne immédiatement la constitution de l'ECH 9-10 et son complémentaire avec les trois notes manquantes pour obtenir le total chromatique.
Mesure 24
Mesure 28
La mesure 8 à trois notes près du total chromatique
Figure 12. Les permutations "possibles" de la phrase après inversion et transposition {9, 8, 6, 5}/{la, lab, fa#, fa) du  violon 2 à la mesure 8. En souligné, ce qui a été choisi par Beethoven.
Regard global

Dans un premier temps, j'ai souhaité avec avoir une vision globale sur un nombre défini de mesures et, avec pour chacune d'entre elles, sans hiérarchie, la prise en compte de toutes les classes de hauteurs afin d'obtenir un Ensemble de Classes de Hauteurs (ECH) définissant pour chacune de ces mesures ce que j'appellerai une sorte de code génétique, l'ADN de base étant peut-être fixé par la gamme de do mineur ? Avec l'idée de mettre à jour ce qu'il y avait éventuellement de sous-jacent dans une mesure.
Ainsi, une segmentation englobant les quatre portées permet de suivre la progression du contenu du matériau mélodique/harmonique des mesures 2 à 8 grâce à la représentation circulaire comme on peut le voir sur la figure 1. Deux ensembles de classes de hauteurs (ECH) émergent, le 6-Z24 et le 7-32, le 6-Z24 devenant à la 7e mesure le 6-Z25.
La mesure 2 avec l'ensemble classes de hauteurs (ECH) 6-Z24 {0, 2, 3, 5, 7,11}/{do, ré, mib, fa, sol, si} est transposée de 5 demi-tons (quarte) à la mesure 4 et elle est quasiment dans l'état à la mesure 6 avec l'ECH 6-Z25 à une note près, le si étant substitué par le la bémol. L'ECH 7-32 {0, 2, 3, 5, 7, 8}/{do, ré; mib, fa, sol, lab} de la mesure 3 est transposé de 5 demi-tons à la mesure 5 et reste tel quel à la mesure 7.
Un constat intéressant concerne le matériau utilisé par Beethoven dans l'ECH constitué par les notes sans les appogiatures entre la mesure 2 et 8 (Fig 2). Il s'agit d'un 6-Z24, 6-Z24 qui devient un 7-32 - la déclinaison de la gamme de do mineur - si j'ajoute celles-ci. A noter que ces dernières ne modifient en rien les résultats globaux de la figure 1, dans la mesure où leurs notes apparaissent en tant que telles dans les portées du violon 1 et l'alto. Ci-dessous, en exemples, trois vidéos de la construction de l'ECH 7-32 à partir des mesures 3, 5 et 7. Le cercle dodécaphonique utilisé est l'utilitaire "Set Theory" de Pierre Couprie (iAnalyse 3 et 4, Iphone et Ipad) distribué librement.
Figure 4. Le patch d'Open Music donne le complémentaire de l'ECH 9-10.
Récurrence d'accords dits "viennois"

Avouons-le, j'ai été plutôt surpris en découvrant dans le second accord de la mesure 2, juste après celui du do mineur, un très bel exemplaire d'un accord dit "viennois", un beau 3-5 selon la classification d'Allen Forte :
{do, fa, si}/{0, 5, 11} et qui se caractérise par la structure intervallique quarte, quarte augmentée et seconde mineure voire octave diminuée ou augmentée. Cet accord viennois a été tellement utilisé dans le cadre de la musique dodécaphonique et sérielle qu'il en est devenu totalement académique au même titre qu'un accord majeur.
- XVIIIe et XIXe siècles
En fait comme l'avait indiqué Laurent Fichet lors d'une conférence donnée à  l'I.U.F.M. de Lille le 16 décembre 1994 : "L'accord "viennois 1" par exemple est en fait connu depuis le XVIIIème siècle, même s'il n'apparaît à cette époque que par le jeu des notes de passage et inclus dans des accords qui atténuent sa dureté. Mais, dès le XIXème siècle, on le retrouve, particulièrement aux cadences (toujours cet endroit capital pour l'évolution de l'harmonie) sous une forme presque indépendante".
De fait, comme ont peut le constater dans la figure 5 grâce aux segmentations, dans chacune des mesures de 2 à 7 sont inclus des ECH  3-5 avec des imbrications dues à des notes communes comme à la mesure 6 {2, 8, 7}/{ré, lab, sol} et {8, 2, 3}/{lab, ré, mib} et à la mesure 7 où Beethoven reprend la même disposition qu'à la mesure 6 tout en ajoutant un 3e ECH 3-5  {11, 5, 0}/{si, fa, do}.


Figure 5. Dans chacune des mesures de 2 à 7 sont inclus des ECH  3-5 (accord dit viennois qui ont comme intervalles spécifiques une seconde mineure, une quarte et une quarte augmentée/quinte diminuée  - et qui sont souvent utilisés dans la musique atonale, dodécaphonique ou sérielle).
Singularité de la mesure 8

La mesure 8 est assez étonnante quand on examine ce qu'elle contient concrètement mais aussi par ce qu'elle peut présenter de façon sous-jacente. Ainsi, comme le montre la figure 7 ci-dessous, avec une segmentation reconstituée avec les notes de la mesure 8 (en copie d'écran à gauche) mais en utilisant aussi la fonction native de segmentation et de représentation circulaire d'Open Music, on décèle pas moins de huit ECH 3-5 que l'ont peut visualiser regroupés dans le cercle dodécaphonique de la figure 6. La représentation circulaire fait apparaître deux ECH implicites 4-9 {11, 0, 6, 5}/{si, do, fa#, fa} et {9, 8, 2, 3}/{la, lab, ré, mib} construits symétriquement ou les deux ECH symétriques 4-3 : le {3, 2, 0, 11}/{mib, ré, do, si} est joué par le violon 1 et le  {8, 6, 9, 5}/{lab, fa#, la, fa} interprété par le violon 2 et qui a la caractéristique d'être transposé T6, à la quinte diminuée (6 demi-tons) ou dans le possible en transposition inversée T8I (8 demi-tons), et dont les résultats T6 ou T8I ont été permutés pour obtenir la phrase lab-fa#-la-fa.
Figure 4a. Les mesures 20, 24 et 28 complèteront le total chromatique énoncé en partie à la mesure 8.
En partageant le cercle dodécaphonique de la figure 8 avec le triton do-fa# {0,6} et avec  avec le triton la-mib {9-3}, outre le fait que les symétries apparaissent, on décèle le tracé des accords "viennois" 3-5 inscrits de façon sous-jacente/implicite dans les deux ECH 4-9 des portées des violons 1 et 2 de la mesure 8 (figure 10). On note que l'addition des deux ECH 4-9 donne l'ensemble octotonique 8-28. Ensemble 8-28, dont Allen Forte dans son analyse de l'op. 19 n° 4 d'Arnold Schoenberg avait noté "le rayonnement". Mais la déclinaison réelle des deux portées des violons 1 et 2 est donnée par les deux ensembles 4-3. Dans sa représentation circulaire la symétrie et la projection en miroir sont bien mises en exergue.
En revanche, ce qui n'apparaît pas, mais qui est flagrante sur la partition, c'est la permutation qu'a effectuée Beethoven sur la partie du violon 2. Sa transposition T6 est de 6 demi-tons (quinte diminuée) mais peut-être aussi obtenue en effectuant une inversion de l'ensemble {3, 2, 0, 11) puis transposée de 8 demi-tons. Mais dans les deux cas, l'écriture de la partie du violon 2 ne correspond pas à l'une ou l'autre des deux transpositions comme on peut le noter en comparant les deux parties. Il apparaît bien que le violon 2 joue une phrase symétrique alors que le violon 1 est dans un mouvement descendant. La transposition "ordonnée" du violon 1 {3, 2, 0, 11}/{mib, ré, do, si} est {9, 8, 6, 5}/{la, lab, fa#, fa}.
Pour obtenir la phrase écrite par L. Beethoven {8, 6, 9, 5}/{lab, fa#, la, fa}, il faut choisir l'une des 24 permutations possibles comme on peut le constater sur la figure 12, permutations calculées avec Open Music.  
Figure 8 avec les deux ECH 4-9 et les 3-5 sous-jacents.
Figure 6.
Figure 7. La représentation circulaire des ECH 3-5 dans la mesure 8.
Figure 9. L'ECH 8-28.
Figure 10. Portées violon 1 et et 2 de la mesure 8. Celle du violon 2 est transposée de T6 (6 demi-tons) ou T8I (inversée et transposée de 8 demi-tons) puis permutée par rapport à celle du violon 1.
Fig 11. L'ECH 4-3 {8, 6, 9, 5} est le transposé puis permuté du 4-3 {3, 2, 0, 11}.
Didier DEBRIL
Décembre 2013
Construction de l'ECH 7-32 de la mesure 3.
Construction de l'ECH 7-32 de la mesure 5.
Construction de l'ECH octotonique 8-28 avec deux ECH 4-9 dans la mesure 8..
Construction de l'ECH octotonique 8-28 avec deux ECH 4-3 de la mesure 8.
Construction de l'ECH 7-32 de la mesure 7.
3-10
3-7
4-27
4-28
3-7
3-10
4-27
4-27
3-5
4-28
4-9
4-3
ECH 9-10.
Accords dans la mesure 8
La segmentation "verticale"  (violon 1 et 2, alto et violoncelle) affiche dans la figure 13 une progression avec les ECH 3-7, 3-10, 4-27 (dont une transposition T11), et 4-28. L'ensemble des notes donne un ECH 9-10 {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 11}. Il était intéressant de vérifier avec un patch d'Open Music (figure 14) permettant de calculer et d'afficher en un clic de souris - d'où l'intérêt de l'analyse computationnelle - les accords (sous-ensembles) en relation avec un ECH donné et de comparer le résultat avec la segmentation des accords opérée (figure 15). A ces derniers s'ajoutent les ECH inclus dans les portées des violon 1 et 2 (en jaune) soit 3-5, 4-3 et 4-9. Comme on peut le vérifier ces ECH sont bien présents dans la liste des sous-ensembles du 8-28 et du 9-10. 
Précision, les ECH et leurs représentations circulaires sont affichés dans leur forme première, à partir du do comme 0 afin de permettre sur les ECH des comparaisons "neutres". De même, la comparaison a été effectuée avec l'ECH 8-28 pour des raisons de commodités, de largeur de la figure obtenue et du fait que les accords étaient bien présents dans le 8-28. La figure de la comparaison à partir du 9-10, avec un plus grand nombre de possibilités, est ici.
Figure 13. Segmentation verticale de la mesure 8 à gauche dans Open Music. Insérée da façon native dans le "player" depuis la version 6.6, cette nouvelle fonction permet de segmenter, notamment, les accords et de les afficher dans leur représentation circulaire et avec la notation de la Set Theory. 
Figure 15. Un patit patch permettant avec la fonction "sub-rel" de calculer les sous ensembles contenus dans un ECH donné. Ici, le 8-28, ensemble octotonique.
Figure 16. Le résultat de la segmentation calculée dans Open Music et affiché dans le player avec les différentes représentations circulaires des sous ensembles possibles de l'ECH 828.