Progression des tempéraments tempérés
ou une illustration des tables d'Augusto Novaro
Le tempérament est donc l'équipartition en n éléments d'un intervalle de référence quelconque m : n√m.
Jean-Etienne Marie, L'homme musical.


Le patch Fig.4 ci-dessus calcule les tempéraments à partir de la racine 2√n et permet, notamment, d'obtenir les progressions (fréquences en Hz, notes en notation américaine et en midicents) des tables établies par le disciple de Carillo, Augusto Novaro (Sistema natural de la musica), de √2 à 65√2. Avec ces tables, il suffit de prendre la "n" division d'octave et d'aller à la ligne souhaitée qui multipliée par la fréquence de base donnera la fréquence en Hz. Ce patch créé avec Open Music a l'avantage de d'afficher en deux ou trois clics de souris l'ensemble des résultats dont les coefficients issus du calcul 24√2 comme sur les tables de progression mais aussi les fréquences en Hz, les notes en notation américaine et standard - avec toutefois une notation jusqu'au 1/16e de ton -  ainsi que les notes en midicents.

Toutefois, si ce patch est utile, notamment pour travailler avec des micro-intervalles ou comme sur la figure 5 ci-dessous avec un intervalle de quinte divisé en 17 parties égales soit 17√1.414, il manquait pour les tempéraments avec d'importantes divisions de l'octave comme le 8e de ton (48e d'octave), le 16e de ton (96e d'octave), le 53e d'octave, etc, un utilitaire permettant de rechercher dans un de ces tempéraments, un intervalle précis. Avec les logarithmes, on peut calculer le nombre de micro-intervalles dans un intervalle donné, et donc par cela même trouver sa position. D'où la création d'un patch pour le moins très utile. Voir la figure 6 en dessous du patch ci-dessous.



Les planches établies par Augusto Novaro peuvent-être téléchargées ici : - Planche A  du 2e au 21e d'octave  -  planche B du 22e au 37e d'octave - planche C  du 38e au 53e d'octave.
Ces tables ont été publiées par Augusto Carillo en 1951 dans son ouvrage Sistema natural de la musical.  La société d'Augusto Novaro (The Augusto Novaro Society) l'a mis en ligne en PDF, les pages des progressions propre à chaque tempérament - du 2e d'octave jusqu'au 65e d'octave - vont de la 53e à la 58e pages.
Le patch ci-dessus complète ceux des figure 5 et 6.  En effet, à partir de deux systèmes logarithmiques à bases différentes - racine 12e de 2 (12√2) ou rapports d'intervalles - on obtient la position d'un intervalle précis. Chacun des deux systèmes logarythmiques à bases différentes est identifiés par une couleur, bleue pâle pour le calcul log (2^1/96^7) * 96/log(2) et rose pâle le calcul 
log (3/2) * 96/log(2). Le bas du patch est similaire mais donne le résultat de façon différente. Soit la quinte tempérée et la quinte juste. Il suffit ensuite de reporter le numéro de la position de l'intervalle, 56 (soit 56 micro-intervalles en 1/16e de ton) dans le troisième patch situé à la droite (et sans couleur) des deux autres pour vérifier l'exactitude du résultat. Il s'agit bien d'un sol.
Figure 3 et 4 : les progressions établies par Novaro et un patch pour les calculer.
Figure 5. Ces deux patchs divisent l'octave en deux intervalles de quarte augmentée/triton et le subdivisent en 17 parties égales.
Figure 7. Trois patchs en un et à base de logarithmes pour les deux premiers. Ils permettent de rechercher un in intervalle ou micro-intervalle précis.
En reprenant l'exemple de Cocotier 12√2^7, on lit dans l'intervalle d'octave 1 et 2 à la ligne 7, l'indice de progression du tempérament 1.4983. Il suffit de le multiplier pour obtenir sa fréquence en Hz, soit sur la base du do 261.62555 Hz : 391.99 Hz.
Pour vérifier l'exactitude des fréquences, il y a plusieurs possibilités. Il y a ce lien qui affiche le nom des notes et leurs équivalents fréquences en Hz, mais il y a surtout le tableau Pdf des hauteurs publié par l'Observatoire Musical de France-Paris Sorbonne qui est très complet. Il donne le nom des notes et leur équivalent midi de 0 à 128, de leurs fréquences en hertz et même au-delà, jusqu'au Si8 quart de ton 16503.98 Hz. Mais il affiche aussi, et c'est précieux pour vérifier les calculs pour les fréquences microtonales, celles intermédiaires en quart de ton et en huitième de ton. Ainsi, on peut constater qu'avec une calculatrice on a bien obtenu les coefficients de progression et les fréquences de la tierce majeure, Mi, et de la quarte augmentée/quinte diminuée Fa#, de la quinte, soit respectivement 1.259921/659.26 Hz - 141.214/739.99 Hz et 1.4983/392,00 Hz.
Dans un même esprit, le pacht ci-dessus de la figure 8 calculé avec les logarithmes permet selon le tempérament choisi - ici quart de ton, huitième de ton, seizième de ton - d'obtenir la valeur de l'intervalle en cents, soit successivement 50 cents, 25 cents arrondis et 12,5 cents arrondis par rapport aux résultats.