Histoire de tempéraments
Dans le sujet ouvert par Merlin concernant "incomplétude du cycle des quintes", ça m'a donné l'idée d'illustrer ces histoires de tempéraments avec des patchs d'Open Music, le logiciel de CAO qui est distribué gratuitement par l'Ircam. En plus, ça tombait bien car j'avais commencé à travailler sur une série de patchs sur les tempéraments en adaptant un patch utilitaire que je me suis créé avec Max MSP (à partir de 2'30 sur la vidéo) - converti aussi pour Ableton Max for Live - et qui permet de jouer avec les fréquences microtonales notamment avec les intervalles. Bref, en prenant appui sur la discussion ouverte dans le forum Autour de la musique contemporaine, j'ai voulu vérifier les potentialités pédagogiques offertes par Open Music.

Cocotier a écrit  "Le tempérament égal consiste à dire que le rapport de fréquence entre 2 notes espacées d'un demi-ton est constant. Le rapport étant de 2 pour une octave, 1 demi-ton correspond à  12√2 (racine douzième de 2). Pour une quinte juste (3,5 tons ou 7 demi-tons), nous avons donc : 12√2^7".

Le patch de la figure 1 a été créé avec Open Music (logiciel de CAO distribué gratuitement par l'Ircam pour les plateformes PC et Mac) illustre l'exemple 12√2^7 de Cocotier. Les petites boites permettent de voir la progression du calcul. Soit 2 ^ (1/12) donne le coefficient 1.0594632, celui-ci est élevé à la puissance 7 - soit 7 demi-tons -  d'où 1,4983076 qui multiplié par le do 261,63 Hz donne la fréquence 391,99 Hz, soit celle du sol.
Figure 1. Le patch illustre le calcul 12√2^7.
<----- La quinte juste do - sol, en notation numérique {0, 7} de la Set Theory  compte 3,5 tons et 7 demi-tons comme on peut le constaster avec la représentation circulaire.
Cocotier a écrit ===> Si l'on empile les quintes, on s'aperçoit que l'on balaye toutes les notes de la gamme chromatique. Par exemple, commençons et finissons à Do :
Do - Sol - Ré - La - Mi - Si - Fa# - Do# - Sol# - Ré# - La# - Fa - Do
En citant toutes les notes de la gamme chromatique par quintes successives, nous avons parcouru, de la sorte, 7 octaves complètes.





Cycle de quintes
L'exemple de Cocotier illustré avec la figure 2 à gauche par deux patchs d'Open Music avec en listes les résultats obtenus en fréquences en Hz et en notation américaine. 

Le cycle des quintes est obtenu pour ce premier patch avec la fonction dx->x qui permet de construire à partir des intervalles des structures intervalliques pour des gammes, des modes, des séquences, y compris avec des micro-intervalles différents.
Ici, le départ du cycle part sur le do1 (3600 en midicents) et se termine sur le do8. L'intervalle est de sept demi-tons, soit 700 cents.
Figure 2. Deux façons de créer avec Open Music un cycle de quintes balayant le total chromatique sur sept octaves.
Pour ce second patch, le cycle des quintes est construit avec une série arithmétique. Celle-ci couvre les sept octaves de do1 à do8 (1200 cents x 7) et progresse avec un pas de 700 cents. Tout comme pour le premier patch, les résultats qui sont en midi sont convertis en fréquence en Hz et en notation américaine des notes avec les fonctions de conversion mc->f et mc->n. Les résultats sont affichés dans les boîtes de texte.