Multiplication d'accords avec

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transp-comb

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d'après le processus élaboré par Pierre Boulez


Le module d'Open Music ZN transp-comb permet d'effectuer les multiplications d'accords à partir du processus établi par Pierre Boulez. Toutefois, il y a une particularité qu'il faut prendre en compte concernant la transposition du premier bloc sonore sur le second. Sauf erreur de ma part, il faut inscrire non pas l'ECH en tant que tel, c'est à dire {3, 2, 4} mais sa structure intervallique. Ce qui est d'ailleurs précisé par Pierre Boulez quand il souligne ci-dessus : "par rapport aux intervalles de définitions". Pour ne pas avoir fait attention au début à cette précision, j'ai littéralement galéré, je n'arrivais pas à obtenir le bloc sonore final, j'obtenais 16 notes, dont deux sib, deux sol#,  et un do# et un fa, deux notes constitutives avec le mib du bloc sonore "a". Mais le résultat était de fait incorrect. Donc piège, il faut prendre en compte la structure intervallique du bloc sonore "a" pourc effectuer correctement l'opération.
Entre mib et do# ascendant, celle-ci est de 8 demi-tons et entre do# et mi de trois demi-tons soit (8 3). Le résultat obtenu avec OM est  ((8 4 0 3) (3 11 7 10))  soit {0, 3, 4, 7, 8, 10, 11} auquel on ajoute le bloc sonore "d" {2, 10, 6, 9} soit en ordonné {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.

Calcul avec matrice 
En revanche, pour un calcul sur le papier utilisant une matrice de calcul, il faut prendre en compte l'équivalence d'octave et dans ce cas la numérotation modulo 12 s'impose avec l'ECH qui est {3, 1, 4} soit concernant les deux intervalles : 3-1 = 2 et 1 - 4 = 3 soit (2 3). Et là, le calcul avec la matrice s'avère exact. On obtient en vertical (4, 0, 8, 11) (7, 3, 11, 2) soit en ordonné {0, 3, 4, 7, 8, 11} et auquel on ajoute l'ECH du bloc "d" {2, 10, 6, 9} soit {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11).
L'accord final est {2, 6, 8, 10, 0, 3, 7, 9, 11, 4} ou {0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11}.
"Transp-comb" module pour la multiplication d'accords
Dans son article Eventuellement paru, notamment, dans Relevé d'apprentis (collection "Tel Quel" aux éditions du Seuil) Pierre Boulez expliquait à la page 168 son processus de multiplication d'accords à partir d'une série de douze demi-tons répartis "entre trois sons, un son, deux sons, quatre sons, deux sons soit cinq sonorités". Il précisait si l'on transpose une superposition de trois sons par une superposition de quatre sons, on obtiendra une superposition de douze sons, en principe - 4 fois 3. Mais avec les notes communes - ici deux : Sol et Sib - ce nouveau bloc sonore aura dix sons". Il ajoutait : "Chacune de ces superpositions de fréquences est évidemment susceptible de se modifier chaque fois qu'elle se reproduit quant à la tessiture et suceptibles de permutations suivant une ligne verticale, par rapport aux intervalles de définitions". Et il explicitait son exemple page 169 (la figure ci-dessous) à partir de la transposition du bloc sonore de trois notes "a" (mib, do#, mi) sur le bloc sonore de quatre notes "d" (ré, sib, fa#, la). L'exemple est décomposé en quatre résultats et à partir de chaque note du bloc sonore "d".
a                   b               c                 d                e
2     3
2     4    7

10     0   3

6       8   11

   11    2
Attention, le calcul ne s'effectue pas de façon classique, c'est à dire en additionnant successivement 2, 10, 6 et 9 à 2 et 3.
En effet, (2 3) ne représentent pas des notes mais les deux intervalles successifs entre les notes mib-do#-mi.
Le calcul Modulo 12 s'effectue comme suit note + intervalle :
2 + 2 = 4 + 3 = 7
10 + 2 = 0 + 3 = 3    ----> (10 + 2 = 12 = 0 + 3 = 3)
8 + 2 = 10 + 3 = 1    ----> (8 + 2 = 10 + 3 = 13 - 12 = 1)
9 + 2 = 11 + 3 = 2    ----> (9 + 2 = 11 + 3 = 14 - 12 = 2)

A noter qu'on peut aussi utiliser 10 demi-tons au lieu de 2 en tant qu'élément multiplicateur/transpositeur, le résultat est le même, 10 étant symétrique à 2 par rapport à 0 (do) :
3 - 1 = 10 demi-tons.
0     10   1
2    2    0   3

10   10  8   11

6      6   4    7

    9   7   10
Calcul avec Ordered Pitch-Class Intervallic Structure (OIS)
Une autre façon d''effectuer la multiplication d'accords à partir de la structure intervallique via une matrice de calcul concerne la méthode préconisée par Stephen Heinemann dans son texte Pitch class Set Multiplication in Boulez's Le Marteau sans maître publié et mis en ligne par l'Université de Washington. Il effectue son calcul (page 74, figure 6.10) à partir de l'OIS (Ordered Pitch-Class Intervallic Structure). Il calcule ce dernier en effectuant une conversion du bloc sonore "a" {3, 1, 4} en OIS. En premier lieu, {3, 1, 4} devient <3, {1, 4}> et où les deux intervalles vont être définis à partir de 3-(mib).
Soit entre 3 et 1 (mib-do#) = 10 demi-tons
      entre 3 et 4 (mib-mi)   =    1 demi-ton
d'où l'OIS 0,10,1.  Comme on peut le constater avec le calcul effectué avec la matrice, on obtient comme résultat ordonné :
{0, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11).


Pour la 1e matrice :
entre 1-do# et 3-mib/ré#, il y a 2 demi-tons, et de do#  à mi, il y a 3 demi-tons.

Pour la 2e matrice, entre 3-mib et 1-do#, il y a 10 demi-tons et entre 3-mib/ré# et 4-mi, il y a 1  demi-ton.
Patch créé avec OM avec transp-comb. La fonction "x-append" additionne les trois accords dans une seule séquence.